Paris, 20 avril 2012

Mathématiques : première image d'un tore plat en 3D

De même qu'on ne peut pas mettre à plat un globe terrestre sans perturber les distances, les tores plats, objets mathématiques abstraits, semblaient impossibles à visualiser dans notre espace. Pourtant, une équipe de mathématiciens et d'informaticiens(1) a réussi à construire et représenter visuellement une image d'un tore plat dans l'espace à trois dimensions. Il s'agit d'une fractale lisse, à mi-chemin entre les fractales et les surfaces ordinaires. Ces résultats sont publiés dans PNAS.

Dans les années 50, Nicolaas Kuiper et le prix Nobel John Nash ont démontré l'existence d'une représentation d'un tore plat, objet mathématique abstrait, sans pouvoir la visualiser. Depuis, la représentation de cette surface est restée un défi que des scientifiques lyonnais et grenoblois viennent de relever. En se basant sur la théorie de l'intégration convexe mise au point par Mikhail Gromov(2) dans les années 70, les chercheurs ont utilisé la technique de corrugations (oscillations). Cette technique mathématique, réputée abstraite, est utilisée dans la détermination de solutions atypiques d'équations aux dérivées partielles. Pour la première fois, elle a permis aux scientifiques d'obtenir des images d'un tore plat dans l'espace à trois dimensions. A mi-chemin entre les fractales et les surfaces ordinaires, ces images sont celles d'une fractale lisse.

Ces résultats ouvrent des perspectives inédites en mathématiques appliquées, notamment pour la visualisation des solutions des équations différentielles qu'on rencontre en physique ou en biologie. Les étonnantes propriétés des fractales lisses pourraient également jouer un rôle central dans l'analyse de la géométrie des formes.

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Les mathématiques de l'évolution

L'évolution du vivant, triomphe de la diversité et de la complexité, —aux antipodes, semble-t-il, de l'architecture épurée d'un édifice mathématique. Pourtant, de l'origine des gènes à l'émergence des sociétés humaines, les grandes transitions de l'histoire de la vie inspirent et renouvellent la théorie mathématique des jeux. On découvre des caractéristiques mathématiques universelles au sein de populations dont les organismes au comportement aléatoire interagissent selon des règles simples. Des classes d'équations inédites surgissent de l'étude du partage des ressources par des espèces concurrentes; leurs solutions présentent des propriétés mathématiques nouvelles, qui vont jusqu'à remettre en question notre conception même de la pratique expérimentale. Nous montrerons ainsi comment l'étude de l'évolution du vivant fait naître de nouvelles métaphores mathématiques, et comment le progrès mathématique qui en résulte peut nous aider à mieux comprendre la réalité biologique.

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